■ y^

^•^•»

?V««.

Ä-.,*'-

^^-^ •

41 v#^'

i^«-

fW Et Xfbris

«^^^iy-

.<•'/ • fc #

&5i**^

^^■x

,'•' .■■v' ■

'0'' '''^-

%•

ür-

*# ¥

So^

la* ^i^-ii^-^-^ Sß^i«-

LI BR ARY

OF THE

ASTRONOM8CAL SOCIETY

OFT - IPACiFlC

23^

M

m*

•^

CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE

BAND III.

<^

CARL FRIEDRICH GAUSS

WERKE

D K I T T ER B A N D.

ZWEITER ABDRUCK

HERAUSGEGEBEN

VON DER

KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN

zu

GÖTT1NGF]N

1876.

-\%

ÄSTfiONOMY ÜBRARV

y.3

DEMONSTRATIO NOYA

THEOEEMATIS

OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM

RATIONALEM INTEGRAM

UNIUS VARIABILIS

IN FACTOEES EEALES PßIMI VEL SECUNDI GEADUS

RESOLVI POSSE QUAM PRO

OBTINENDIS SUMMIS IN PHILOSOPHIA HONOßlBUS INCLITO PHILOSOPHORUM ORDINI

ACADEMIAE lüLIAE CAEOLINAE

EXHIBUIT

CAEOLUS FEIDEEICUS GAUSS.

HELMSTADII

APÜD C. G. FLECKEISEN. MDCCLXXXXIX.

III.

m^772\m

DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

OMNEM FUNCTIONEM ALGEBEAICAM EATIONALEM INTE GRAM

UNIUS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADUS RESOLVI POSSE.

1.

Quaelibet aequatio algebraica determinata reduci potest ad formam

^m_|_^^m-l_|_^^m-2_|_ g^^^ _j_j^ ^0

ita ut m sit numerus integer positivus. Si partem primam huius aequationis per X denotamus, aequationique X = 0 per plures valores inaequales ipsius o? sa- tisfieri supponimus, puta ponendp cc = a, x =.'6, x =■ -^ etc. , functio X per productum e factoribus x — a, x — ö, x — y etc. divisibilis erit. Vice versa, si productum e pluribus factoribus simplicibus x — a, x — ö, x — y etc. functionem X metitur: aequationi X= 0 satisfiet, aequando ipsam x cuicunque quanti- tatum a, ö, y etc. Denique si X producto ex m factoribus talibus simplicibus aequalis est (sive omnes diversi sint , sive quidam ex ipsis identici) : alii factores simplices praeter hos functionem X metiri non poterunt. Quamobrem aequatio wi}'^ gradus plures quam m radices habere nequit; simul vero patet, aequationem m*^ gradus pauciores radices habere posse, etsi X in m factores simplices resolu- bilis sit : si enim inter hos factores aliqui sunt identici , multitudo modorum di- versorum aequationi satisfaciendi necessario minor erit quam m. Attamen con- cinnitatis caussa geometrae dicere maluerunt, aequationem in hoc quoque casu m radices habere, et tantummodo quasdam ex ipsis aequales inter se evadere: quod utique sibi permittere potuerunt.

4 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

2.

Quae hucusque sunt enarrata, in libris algebraicis sufficienter demonstran- tur neque rigorem geometricum uspiam ofFendunt. Sed nimis praepropere et sine praevia demonstratione solida adoptavisse videntur analystae theorema, cui tota fere doctrina aequationum superstructa est : Quamvis fimctionem talem ut X sem- per in m factores simplices resolvi posse , sive hoc quod cum illo prorsus conspirat, quamvis aeqiiationem m*^ gradus revera habere m radices. Quum iam in aequatio- nibus secundi gradus saepissime ad tales casus perveniatur , qui theoremati huic repugnant: algebraistae, ut hos illi subiicerent, coacti fuerunt, fingere quantita- tem quandam imaginariam, cuius quadratum sit — 1, et tum agnoverunt, si quan- titates formae a-\-h\j — 1 perinde concedantur ut reales, theorema non modo pro aequationibus secundi gradus verum esse , sed etiam pro cubicis et biquadraticis. Hinc vero neutiquam inferre licuit, admissis quantitatibus formae a-\-h\] — 1 cui- vis aequationi quinti superiorisve gradus satisfieri posse , aut uti plerumque ex- primitur (quamquam phrasin lubricam minus probarem) radices cuius vis aequatio- nis ad formam a-\-h\l — 1 reduci posse. Hoc theorema ab eo, quod in titulo huius scripti enunciatum est, nihil difFert, si ad rem ipsam spectas, huiusque de- monstrationem novam rigorosam tradere, constituit propositum praesentis disser- tationis.

Ceterum ex eo tempore, quo analystae comperti sunt, infinite multas ae- quationes esse , quae nuUam omnino radicem haberent , nisi quantitates formae a-\-h\l- — 1 admittantur, tales quantitates fictitiae tamquam peculiare quantita- tum genus, quas imaginarias dixerunt, ut a realihus distinguerentur, consideratae

et in totam analysin introductae sunt; quonam iure? hocloco non disputo De-

monstrationem meam absque omni quantitatum imaginariarum subsidio absol- vam , etsi eadem libertate , qua omnes recentiores analystae usi sunt, etiam mihi uti liceret.

3.

Quamvis ea , quae in plerisque libris elementaribus tamquam demonstratio theorematis nostri afferuntur, tam levia sint, tantumque a rigore geometrico ab- horreant, ut vix mentione sint digna: tamen, ne quid deesse videatur, paucis illa attingam. 'Ut demonstrent, quamvis aequationem

x"'-\-Ax'^-' + Bx'^-''-^ etc. -\-M = 0

OMNEM FÜNCTIONEM ALGEBRAICÄM ETC. 5

sive X= 0, revera habere m radices, suscipiunt probare, X in 7n factores simplices resolvi posse. Ad hunc finem assumunt m factores simplices x — a, x — ö, X — Y etc. ubi a, €, y etc. adhuc sunt incognitae, productumque ex illis aequale ponunt functioni X. Tum ex comparatione coefficientium deducunt m aequationes , ex quibus incognitas a, €, y etc. determinari posse aiunt , quippe quarum multitudo etiam sit m. Scilicet m — 1 incognitas eliminari posse, unde emergere aequationem, quae, quam placuerit, incognitam solam contineat.' Ut dereliquis, quae in tali argumentatione reprehendi possent, taceam, quaeram tantummodo, unde certi esse possimus, ultimam aequationem revera ullam radi- cem habere? Quidni fieri posset, ut neque huic ultimae aequationi neque propo- sitae ulla magnitudo in toto quantitatum realium atque imaginariarum ambitu satisfaciat? — Ceterum periti facile perspicient, hanc ultimam aequationem ne- cessario cum proposita omnino identicam fore , siquidem calculus rite fuerit insti- tutus; scilicet eliminatis incognitis ^, y etc. aequationem

a"'+^a"'-' + J5a"^-'+ etc. -\-M = 0

prodire debere. Plura de isto ratiocinio exponere necesse non est.

Quidam auctores, qui debilitatem huius methodi percepisse videntur, tam- quam axioma assumunt , quamvis aequationem revera habere radices, si non pos- sibiles , impossibiles. Quid sub quantitatibus possibilibus et impossibilibus in- telligi velint, haud satis distincte exposuisse videntur. Si quantitates possibiles idem denotare debent ut reales , impossibiles idem ut imaginariae : axioma illud neutiquam admitti potest , sed necessario demonstratione opus habet. Attamen in illo sensu expressiones accipiendae non videntur, sed axiomatis mens haec po- tius videtur esse : ' Quamquam nondum sumus certi , necessario dari m quanti- tates reales vel imaginarias , quae alicui aequationi datae m}^ gradus satisfaciant, tarnen aliquantisper hoc supponemus; nam si forte contingeret, ut tot quantita- tes reales et imaginariae inveniri nequeant , certe effugium patebit , ut dicamus reliquas esse impossibiles.' Si quis hac phrasi uti mavult quam simpliciter di- cere , aequationem in hoc casu tot radices non habituram , a me nihil obstat : at si tum his radicibus impossibilibus ita utitur tamquam aliquid veri sint , et e. g. dicit, summam omnium radicum aequationis x'^-\-Äx^^~^-\- etc. = 0 , e"8se = — A, etiamsi impossibiles inter illas sint (quae expressio proprio significat, etiamsi aliquae deficiant) : hoc neutiquam probare possum. Nam radices impossi-

6 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

biles , in tali sensu acceptae, tarnen sunt radices, et tum axioma illud nullo modo sine demonstratione admitti potest , neque inepte dubitares , annon aequationes exstare possint, quae ne impossibiles quidem radices habeant?*)

4. Antequam aliorum geometrarum demonstrationes theorematis nostri recen- seara, et quae in singulis reprehendenda mihi videantur, exponam: observo suf- ficere, si tantummodo ostendatur, omni aequationi quantivis gradus'

^"^_|_^^"'-i_|_j5,^"^-2_{-etc. +31= 0

sive X = 0 (ubi coefficientes A, B etc. reales esse supponuntur) ad minimum uno modo satisfieri posse per valorem ipsius x sub forma a-\-b\J — 1 conten- tum. Constat enim, X tunc divisibilem fore per factorem realem secundi gradus jQjQ — 2ax-\-aa-\-hh, si h non fuerit ==0, et per factorem realem simplicem X — a, si 6 = 0. In utroque casu quotiens erit realis, et inferioris gradus quam X ; et quum hie eadem ratione factorem realem primi secundive gradus habere de-

*) Sub quantitate imaginaria hie semper intelligo quantitatem in forma a \-h\l — l contentam, quam- diu h non est = 0. In hoc sensu expressio illa semper ab omnibus geometris primae notae accepta est, ne- que audiendos censeo, qui quantitatem a-\-b\/ — i in eo solo casu imaginariam vocare voluerunt, ubi a = o, impossibilem vero quando non sit a = 0 , quum haec distinctio neque necessaria sit neque ullius utilitatis. — Si quantitates imaginariae omnino in analysi retineri debent (quod pluribus rationibus consultius videtur, quam ipsas abolere, modo satis solide stabiliantur) : necessario tamquam aeque possibiles ac reales spectandae sunt; quamobrem reales et imaginarias sub denominatione communi quanütatum possibilium complecti mallem : con- tra, impossibilem dicerem quantitatem, quae conditionibus satisfacere debeat, quibus ne imaginariis quidem concessis satisfieri potest, attamen ita, Mi phrasis \\diec idem significet ac si dicas, talem quantitatem in toto magnitudinum ambitu non dari. Hinc vero genus peculiare quantitatum formare, neutiquam concederem. Quodsi quis dicat, triangulum rectilineum aequilaterum rectangulum impossibile esse, nemo erit qui neget. At si tale triangulum impossibile tamquam novum triangulorum genus contemplari, aliasque triangulorum pro- prietates ad illud applicare voluerit, ecquis risum teneat? Hoc esset verbis ludere seu potius abuti. — Quam- vis vero etiam summi mathematici saepius veritates, quae quantitatum ad quas spectant possibilitatem mani- fest© supponunt, ad tales quoque applicaverint, quarum possibilitas adhuc dubia erat; neque abnuerim, huius- modi licentias plerumque ad solam formam et quasi velamen ratiociniorum pertinere, quod veri geometrae acies mox penetrare possit: tamen consultius, scientiaeque, quae tamquam perfectissimum claritatis et certi- tudinis exemplar merito celebratur, sublimitate magis dignum videtur, tales libertates aut omnino proscribere, aut saltem parcius neque alias ipsis uti, nisi ubi etiam minus exercitati perspicere valeant, rem etiara absque illarum subsidio etsi forsan minus breviter tamen aeque rigorose absolvi potuisse. — Ceterum haud negaverim, ea quae hie contra impossibilium abusum dixi, quodam respectu etiam contra imaginarias obiici posse: sed ha- rum vindicationem nee non totius huius rei expositionem uberiorem ad aliam occasionem mihi reservo.

^ OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 7

beat, patet, per continuationem huius operationis functionem X tandem in facto- res reales simplices vel duplices resolutum iri , aut , si pro singulis factoribus realibus duplicibus binos imaginarios simplices adhibere mavis, in m factores simplices.

5.

Prima theorematis demonstratio illustri geometrae d'Alembert debetur, JRe- cherches sur le calcul integral, Histoire de VAcad. de Berlin, Annee 1746. p. 182 sqq. Eadem extat in Bougainville, Traite du calcul integral, ä Paris 17 54. p. 47 sqq. Methodi huius praecipua momenta haec sunt.

Primo ostendit, si functio quaecunque X quantitatis variabilis x fiat = 0 aut pro a? = 0 aut pro a? = oo , atque valorem infinite parvum realem positi- vum nancisci possit tribuendo ipsi x valorem realem : hanc functionem etiam va- lorem infinite parvum realem negativum obtinere posse per valorem ipsius x vel realem vel sub forma imaginaria p-\-q\l — 1 contentum. Scilicet designante Q valorem infinite parvum ipsius X , et to valorem respondentem ipsius x , asserit (o per seriem valde convergentem aQ^-{-bQ -|-cQ"^ etc. exprimi posse, ubi ex- ponentes a, '6, y etc. sint quantitates rationales continuo crescentes, et quae adeo ad minimum in distantia certa ab initio positivae evadant , terminosque , in qui- bus adsint , infinite parvos reddant. lam si inter omnes hos exponentes nuUus occurrat, qui sit fractio denominatoris paris, omnes terminos seriei reales fieri tum pro positive tum pro negative valore ipsius Q ; si vero quaedam fractiones deno- minatoris paris inter illos exponentes reperiantur , constare , pro valore negativo ipsius Q terminos respondentes in forma p-\-q\J — 1 contentos esse. Sed prop- ter infinitam seriei convergentiam in casu priori sufiicere, si terminus primus (i. e. maximus) solus retineatur, in posteriori ultra eum terminum, qui partem imagi- nariam primus producat , progredi opus non esse.

Per similia ratiocinia ostendi posse , si X valorem negativum infinite par- vum ex valore reali ipsius x assequi possit: functionem illam valorem realem positivum infinite parvum ex valore reali ipsius x vel ex imaginario sub forma p-^-qsJ — 1 contento adipisci posse.

Hinc secundo concludit, etiam valorem aliquem realem finitum ipsius X dari, in casu priori negativum, in posteriori positivum, qui ex valore imaginario psius X sub forma p-^-q^ — 1 contento produci possit.

8 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

Hinc sequitur, si X sit talis functio ipsius a^, qüae valorem realem V ex valore ipsius cc reali v obtineat, atque etiam valorem realem quantitate in- finite parva vel maiorem vel minorem ex valore reali ipsius cc assequatur, eandem etiam valorem realem quantitate infinite parva atque adeo finita vel minorem vel maiorem quam V (resp.) recipere posse, tribuendo ipsi o? valorem sub forma p_^qi^ — 1 contentum. Hoc nullo negotio ex praecc. derivatur, si pro X sub- stitui concipitur V-\-Y, et pro a;, v-\-y.

Tandem afiirmat ill. d'Alembert, si X totum intervallum aliquod inter duos valores reales JR, S percurrere posse supponatur (i. e. tum ipsi H, tum ipsi /S, tum Omnibus valoribus realibus intermediis aequalis fieri), tribuendo ipsi x valo- res semper in forma p-\-q^ — 1 contentos; functionem X quavis quantitate fi- nita reali adhuc augeri vel diminui posse (prout S'^R vel S<CIi), manente x semper sub forma p-\-gsJ — 1. Si enim quantitas realis U daretur (inter quam et R supponitur 8 iacere), cui X per talem valorem ipsius x aequalis fieri non posset, necessario valorem mascimum ipsius X dari (scilicet quando S'^R,; mi- nimumvero, quando S<^R), puta T, quem ex valore ipsius x, p-\-q\J — 1, consequeretur , ita ut ipsi x nuUus valor sub simili forma contentus tribui posset, qui functionem X vel minimo excessu propius versus U promoveret. lam si in aequatione inter X et x pro x ubique substituatur p-\-q\l — 1, atque tum pars realis, tum pars, quae factorem y' — 1 implicet, hocomisso, cifrae aequentur: ex duabus aequationibus hinc prodeuntibus (in quibus p, q et X cum constanti- bus permixtae occurreut) per eliminationem duas alias elici posse , in quarum al- tera p, X et constantes reperiantur, altera a p libera solas q, X et constantes involvat. Quamobrem quum X per valores reales ipsarum p, q omnes valores ab R usque ad T percurrerit, per praecc. X versus valorem ü adhuc propius acce- dere posse tribuendo ipsius p,q valores tales a + 7\/ — 1, ß-\-^\J — 1 resp. Hinc vero fieri x = a — ^-\-{y-\-^)\J — 1, i.e. adhuc sub forma p-\-qsl — 1 esse con- tra hyp.

lam si X functionem talem ut oc'"^-{-Aoc^~^-\-Bx''^^~^-\- etc. -\-M deno- tare supponitur, nullo negotio perspicitur, ipsi x tales valores reales tribui posse, ut X totum aliquod intervallum inter duos valores reales percurrat. Quare x valorem aliquem sub forma p-{-q\l — l contentum talem etiam nancisci poterit, unde X fiat =0. Q. E. D.*)

*) Observare convenit, ill. d'Alembert in sua huius demonstratiönis expositione considerationes geome-

OIMNEM FÜNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 9

^ 6.

Quae contra demonstrationem D'ALEMBERTianam obiici posse videntur, ad haec fere redeunt.

1 . 111. d'A. niillum dubium movet de existentia valorum ipsius x, quibus va- lores dati ipsius X respondeant, sed illam supponit, solamque /or?wam istorum valorum investigat.

Quamvis vero haec obiectio per se gravissima sit, tarnen hie ad solam dictio- nis formam pertinet, quae facile ita corrigi potest, ut illa penitus destruatur.

2. Assertio, w per talem seriem qualem ponit semper exprimi posse, certo est falsa, si X etiam functionera quamlibet transscendentem designare debet (uti d'A. pluribus locis innuit). Hoc e. g. manifestum est, si ponitur X = e^, sive X = — !^ . Attamen si demonstrationem ad cum casum restringimus, ubi X est functio algebraica ipsius x (quod in praesenti negotio sufficit) , propositio utique

est Vera Ceterum d'A. nihil pro confirmatione suppositionis suae attulit; cel.

BouGAiNviLLE suppouit , X cssc functioncm algebraicam ipsius x, et ad inventio- nem seriei parallelogrammum NEWTOmanum commendat.

3. Quantitatibus infinite parvis liberius utitur, quam cum geometrico ri- gore consistere potest aut saltem nostra aetate (ubi illae merito male audiunt) ab analysta scrupuloso concederetur , neque etiam saltum a valore infinite parvo ip- sius Q ad finitum satis luculenter explicavit. Propositionem suam, Q etiam va- lorem aliquem finitum consequi posse , non tam ex possibilitate valoris infinite parvi ipsius Q concludere videtur quam inde potius, quod denotante Q quanti- tatem valde parvam, propter magnam seriei convergentiam , quo plures termini seriei accipiantur, eo propius ad valorem verum ipsius (o accedatur, aut, quo plurium partium summa pro lo accipiatur, eo exactius aequationi, quae relatio- nem inter w et Q sive x et K exhibeat, satisfactum iri. Praeterea quod tota haec argumentätio nimis vaga videtur , quam ut ulla conclusio rigorosa inde col- ligi possit: observo, utique dari series, quae quantumvis parvus valor quantitati,

tricas adhibuisse, atque X tamquam abscissam, x tamquam ordinatam curvae spectavisse (secundum morem omnium geometrarum primae huius saeculi partis, apud quos notio functionum minus usitata erat). Quia vero omnia ipsius ratiocinia, si ad ipsornm essentiam solam respicis, nuUis principiis geometricis, sed pure analyti- cis innituntur, et curva imaginaria, ordinataeque imaginariae expressiones duriores esse lectoremque hodier- num facilius otFendere posse videntur , formam repraesentationis mere analyticam hie adhibere raalui. Hanc annotationem ideo adieci, ne quis demonstrationem D'ALEMBEBiianam ipsam cum hac succincta expositione comparans aliquid essentiale immutatum esse suspicetur.

III. 2

10 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS " ^_JL

secimdum ciüus potestates progrediuntur , tribuatur, nihilominus semper diver- gant, ita ut si modo satis longe continuentur , ad terminos quavis quantitate data maiores pervenire possis"*). Hoc evenit, quando coefficientes seriei progressionem hypergeometricam constituunt. Quamobrem necessario demonstrari debuisset, talem seriem hypergeometricam in casu praesenti provenire non posse.

Ceterum mihi videtur, ill. d'A. hie non recte ad series infinitas confugisse, hasque ad stabiliendum theorema hoc fundamentale doctrinae aequationum haud idoneas esse.

4. Ex suppositione, X obtinere posse valorem S neque vero valorem U, nondum sequitur, inter S et ü necessario valorem T iacere, quem X attingere sed non superare possit. Superest adhuc alius casus: scilicet fieri posset, ut in- ter S et U limes situs sit, ad quem accedere quidem quam prope velis possit X, ipsum vero nihilominus numquam attingere. Ex argumentis ab ill. d'A. allatis tantummodo sequitur , X omnem valorem , quem attigerit , adhuc quantitate finita superare posse, puta quando evaserit = >S', adhuc quantitate aliqua finita Q augeri posse; quo facto, novum incrementum Q' accedere, tunc iterum augmen- tum Q" etc., ita ut quotcunque incrementa iam adiecta sint, nullum pro ultimo haberi debeat, sed semper aliquod novum accedere possit. At quamvis multitudo incrementorum possibilium nullis limitibus sit circumscripta : tarnen utique fieri posset, ut si incrementa Q, Q', Q"etc. continuo decrescerent, nihilominus summa >S-]-Q-|-Q'4-ß"etc. limitem aliquem nunquam attingeret, quotcunque termini considerentur.

Quamquam hie casus occurrere non potest, quando X designat functionem algebraicam integram ipsius x: tamen sine demonstratione , hoc fieri non posse, mefhodus necessario pro incompleta habenda est. Quando vero X est functio transscendens, sive etiam algebraica fracta, casus ille utique locum habere potest, e. g. semper quando valori cuidam ipsius X valor infinite magnus ipsius x respon-

*) Hacce occasione obiter adnoto, ex harum serierum numero plurimas esse, quae primo aspectu maxime convergentes videantur, e. g. ad maximam partem eas, quibus ill. Eulek in parte poster. Inst. Calc. Diff. Cap.VI. ad summam aliarum serierum quam proxime assignandam utitur p. 441- — 474 (reliquae enim series p. 47 5 — 47 8 revera convergere possunt), quod, quantum scio, a nemine hucusque observatum est. Quocirca magnopere optandum esset, ut dilucide et rigorose ostenderetur, cur huiusmodi series, quae primo citissime, dein paullatim lentius lentiusque convergunt, tandemque magis magisque divergunt, nihilominus summam proxime veram suppeditent, si modo non nimis multi termini capiantur, et quousque talis summa pro exacta tuto haberi possit? ^

OJINEM FÜNCTIONEM ÄLGEBEAICAM ETC. H

det. Tum methodus D'ALEMBERTiana non sine multis ambagibus, et in quibusdam casibus nullo forsan modo, ad principia indubitata reduci posse videtur.

Propter has rationes demonstrationem n'ALEMBERTianam pro satisfaciente habere nequeo. Attamen hoc non obstante verus demonstrationis nervus probandi per omnes obiectiones neutiquam infringi mihi videtur , credoque eidem funda- mento (quamvis longe diversa ratione, et saltem maiori circumspicientia) non so- lum demonstrationem rigorosam theorematis nostri superstrui , sed ibinde omnia peti posse , quae circa aequationum transscendentium theoriam desiderari queant. De qua re gravissima alia occasione fusius agam; conf. interim infra art. 24.

.7.

Post d'Alembertum ill. Euler disquisitiones suas de eodem argumento pro- mulgavit, IRecherches sur les racines imaginaires des equations , Hist. de FAcad, de Berlin A. 1749, p. 223 sqq. Methodum duplicem hie tradidit: prioris summa continetur in sequentibus.

Primo ill. E. suspicit demonstrare , si m denotet quamcunque dignitatem numeri 2, functionem .2?'"^+^^''"~'+ Ca?''"-' + etc. +iirr= X (in qua coeffi- ciens termini secundi est = 0) semper in duos factores reales resolvi posse , in quibus X usque ad m dimensiones ascendat. Ad hunc finem duos factores assumit,

x'^—ux'''-'-\-ax'"-^-\-^af^-^'\-Qtc., et ^*^+w^'"-' + X.«>"*-2 + (ji^"^-^+ etc.

ubi coefficientes w, oc, ö etc. X, (x etc. adhuc incogniti sunt, horumque productum aequale ponit functioni X. Tum coefficientium comparatio suppeditat 2 m — 1 aequationes, manifestoque demonstrari tantummodo debet, incognitis w, a, ö etc. X, {JL etc. (quarum multitudo etiam est 2 m — l) tales valores reales tribui posse, qul aequationibus illis satisfaciant. lam E. affirmat, si primo u tamquam cognita consideretur , ita ut multitudo incognitarum unitate minor sit quam multitudo aequationum, his secundum methodos algebraicas notas rite combinatis omnes oc, !) etc. X, (X etc. rationaliter et sine ulla radicum extractione per u et coeffi- cientes B, C etc. determinari posse , adeoque valores reales nancisci, simulac u realis fiat. Praeterea vero omnes a, ö etc. X, jj, etc. eliminari poterunt , ita ut prodeat aequatio U" = 0 , ubi U erit functio integra solius u et coefficientium cognitorum. Hanc aequationem ipsam per methodum eliminationis vulgarem evol- vere, opus immensum foret, quando aequatio proposita X = 0 est gradus ali-

2*

\^ DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

quantum alti; et pro gradu indeterminato, plane impossibile (iudice ipso E. p. 239). Attamen hie sufficit, unam illius aequationis proprietatem novisse, scilicet quod terminus ultimus in U (qui incognitam u non implicat) necessario est negativus, unde sequi constat, aequationem ad minimum unam radicem realem habere, sive u et proin etiam a, ö etc. X, [x etc. ad minimum uno modo realiter determinari posse: illam vero proprietatem per sequentes reflexiones confirmare licet. Quum

x^ ua^^"'~^-{-oix^^^'~^-\- etc. supponatur esse factor functionis X: necessario u

erit summa m radicum aequationis X = 0 , adeoque totidem valores habere de- bebit, quot modis diversis ex 2 m radicibus m excerpi possunt, sive per princi-

pia calculi combinationum — -^ — - — valores. Hic numerus sem-

per erit impariter par (demonstrationem haud difficilem supprimo) : si itaque po- nitur = 2k, ipsius semissis k impar erit; aequatio U= 0 vero erit gradus 2k^\ lam quoniam in aequatione X= 0 terminus secundus deest: summa omnium 2 m radicum erit 0; unde patet, si summa quarumcunque m radicum fuerit -{-p , reliquarum summam fore — j? , i. e. si -{-p est inter valores ipsius II , etiam — p inter eosdem erit. Hinc E. concludit , U esse productum ex k factoribus duplicibus talibus uu — pp, uu — qq, uu — rr etc. , denotantibus -{-p,

p^ -{-q, — ^ etc. omnes 2k radices aequationis U=0, unde, propter mul-

titudinem iraparem herum factorum, terminus ultimus in U erit quadratum pro- ducti pqr etc. signo negativo afFectum. Productum autem pq7' etc. semper ex coefficientibus B, C etc. rationaliter determinari potest, adeoque necessario erit quantitas realis. Huius itaque quadratum signo negativo afFectum certo erit quan- titas negativa. Q. E. D.

Quum hi duo factores reales ipsius X sint gradus m}^ atque m 'potestas numeri 2 : eadem ratione uterque rursus in duos factores reales J^m dimensionum resolvi poterit. Quoniam vero per repetitam dimidiationem numeri m necessario tandem ad binarium pervenitur, manifestum est, per continuationem operationis functionem X tandem in factores reales secundi gradus resolutam haberi.

Quodsi vero functio talis proponitur, in qua terminus secundus non deest, puta x^^-\-Äcc^^~^-\-Büe^^~'^-i-etc. -\-M, designante etiamnum 2 m potestatem binariam, haec per substitutionem x =-y — — transibit in similem functionem termino secundo carentem. Unde facile concluditur , etiam illam functionem in factores reales secundi gradus resolubilem esse.

Denique proposita functione gradus 7i*\ designante n numerüm, qui non

OMNEM FUNCTIONEM ALGEBEAICAM ETC. 13

est potestas binaria: ponatur potestas binaria proxime maior quam n, = 2 m, multipliceturque functio proposita per 2 m — n factores simplices reales quoscun- que. Ex resolubilitate producti in factores reales secundi gradus, nullo negotio derivatur, etiam functionem propositam in factores reales secundi vel primi gra- dus resolubilem esse debere.

Contra hanc demonstrationem obiici potest

1. E-egulam, secundum quam E. concludit, ex 2m — 1 aequationibus 2m — 2 incognitas a, ö etc. X, jx etc. omnes rationaliter determinari posse, neu- tiquam esse generalem, sed saepissime exceptionem pati. Si quis e. g. in art.3. aliqua incognitarum tamquam cognita spectata , reliquas per hanc et coefficien- tes datos rationaliter exprimere tentat , facile inveniet , hoc esse impossibile, nul- lamque quantitatum incognitarum aliter quam per aequationem m — 1^^ gradus determinari posse. Quamquam vero hie statim a priori perspici potest, illud ne- cessario ita evenire debuisse: tamen merito dubitari posset, annon etiam in casu praesenti pro quibusdam valoribus m res eodem modo se habeat, ut incognitae a, € etc. X, JA etc. ex u, B, C etc. aliter quam per aequationem gradus forsan ma- ioris quam 2m determineri nequeant. Pro eo casu, ubi aequatio X = 0 est quarti gradus, E.valores rationales coefficientium per u et coefficientes datos eruit; idem vero etiam in omnibus aequationibus altioribus fieri posse , utique explica-

tione ampliori egebat. Ceterum operae pretium esse videtur, in formulas il-

las , quae a, ö etc. rationaliter per u, B, C etc. exprimant , profundius et gene- ralissime inquirere ; de qua re aliisque ad eliminationis theoriam (argumentum haudquaquam exhaustum) pertinentibus alia occasione fusius agere suscipiam.

2. Etiamsi autem demonstratum fuerit, cuiusvis gradus sit aequatio X = 0, semper formulas inveniri posse, quae ipsas a, ^ etc. X, [i etc. rationaliter per u, B, C etc. exhibeant : tamen certum est , pro valoribus quibusdam determinatis coefficientium B, C etc. formulas illas indeterminatas evadere posse , ita ut non solum impossibile sit, incognitas illas rationaliter ex w, B, C etc. definire, sed adeo revera quibusdam in casibus valori alicui reali ipsius u nulli valores reales ipsarum a, ö etc. X, (j, etc. respondeant. Ad confirmationem huius rei brevitatis gratia ablego lectorem ad diss. ipsam E., ubi p. 23 6 aequatio quarti gradus fusius explicata est. Statim quisque videbit, formulas pro coefficientibus a, <S indeter-

14 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

minatas fieri, si C = 0 et pro u assumatur valor 0 , illorumque valores*non so- lum sine extractione radicum assignari non posse, sed adeo ne reales quidem esse, si fuerit BB — 4i) quantitas negativa. Quamquam vero in hoc casu u adhuc alios valores reales habere, quibus valores reales ipsarum a, ^ respondeant, fa- cile perspici potest: tarnen vereri aliquis posset, ne huius difficultatis enodatio (quam E. omnino non attigit) in aequationibus altioribus multo maiorem operam facessat. Certe haec res in demonstratione exacta neutiquam silentio praeteriri debet.

3. 111. E. supponit tacite, aequationem X=0 habere 2m radices, ha- rumque summam statuit = 0 , ideo quod terminus secundus in X abest. Quo- modo de hac licentia (qua omnes auctores de hoc argumento utuntur) sentiam, iam supra art. 3 declaravi. Propositio , summam omnium radicum aequationes alicu- ius coefficienti primo, mutato signo, aequales esse, ad alias aequationes appli- canda non videtur , nisi quae radices habent : iam quum per hanc ipsam demon- strationem evinci debeat , aequationem X = 0 revera radices habere , haud per- missum videtur, harum existentiam supponere. Sine dubio ii, qui huius paralo- gismi fallaciam nondum penetraverunt, respondebunt , hie non demonstrari, aequa- tioni X= 0 satisfieri posse (nam hoc dicere vult expressio, eam habere r.adices), sed tantummodo , ipsi per valores i^mus x suh forma a-^-h'^ — 1 contentos satisfieri posse; illud vero tamquam axioma siipponi. At quum aliae Jquantitatum formae, praeter realem et imaginariam a-\-hsJ — 1 concipi nequeant, non satis luculen- tum videtur , quomodo id, quod demonstrari debet, ab eo, quod tamquam axioma supponitur, diiferat; quin adeo si possibile esset adhuc alias formas quantitatum excogitare , puta formam F, F', F" etc. : tarnen sine demonstratione admitti non deberet, cuius aequationi per aliquem valorem ipsius x aut realem, aut sub forma a-\-h\l — 1, aut sub forma F, aut sub jP' etc. contentum satisfieri posse. Quam- obrem axioma illud alium sensum habere nequit quam hunc: Cuivis aequationi satisfieri potest aut per valorem realem incognitae , aut per valorem imaginarium sub forma a-{-h\l — 1 contentum, aut forsan per valorem sub forma alia hucus- que ignota contentum, aut per valorem , qui sub nulla omnino forma continetur. Sed quomodo huiusmodi quantitates , de quibus ne ideam quidem fingere potes — Vera umbrae umbra — summari aut multiplicari possint, hoc ea perspicuitate, quae in mathesi semper postulatur, certo non intelligitur*).

*) Tota haec res multum illustrabitur per aliam disquisitlonem sub prelo iam sudantera , ubi in argU'

OMNEM PUNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 15

Ceterum conclusiones, quas E. ex suppositione sua elicuit, per has obiectio- nes haudquaquam suspectas reddere volo ; quin potius certus sum , illas per me- thodum neque difficilem neque ab EuLEniana multum diversam ita comprobari posse, ut nemini vel minimus scrupulus superesse debeat. Solam. formam repre- hendo, quae quamvis in inveniendis novis veritatibus magnae utilitatis esse possit, tarnen in demonstrando , corara publico , minime probanda videtur.

4. Pro demonstratione assertionis, productum pqr etc. ex coefficientibus in X rationaliter determinari posse, ill. E. nihil omnino attulit. Omnia, quae hac de re in aequationibus quarti gradus explicat , -haec sunt (ubi o, I), c, b sunt radices aequationis propositae oc'^ -\- B x x -\- C oc -\- D = 0):

*On m'objectera sans doute, que j'ai suppose ici, que la quantite pqr etait une quantite reelle , et que son quarre ppqqrr etait affirmatif; ce qui etait en- core douteux, vu que les racines o, b, c, b etant imaginaires, il pourrait bien arri- ver, que le quarre de la quantite pqr, qui en est composee, fut negatif. Or je re- ponds ä cela que ce cas ne saurait jamais avoir lieu; car quelque imaginaires que soient les racines o, b, c, b, on sait pourtant, qu'il doit y avoir a+B-f-c-l-b = 0; ai)4-ac4-ab+bc+Bb+cb = ^; aBc+aBb + acb+Bcb == — C*); aBcb=D. ces quantites B, C, D etant reelles. Mais puisque p = a-^h, q = a-{-c, r = o-j-b, leur produit pqr = (a-l-6)(a-}-c)(a4-b) est determinable comme on sait, par les quantites B, C, D, et sera par consequent reel, tout comme nous avons vu, qu'il est efFectivement pqr = — C , et ppqqrr = CC. On recon- naitra aisement de meme, que dans les plus hautes equations cette meme cir- constance doit avoir lieu, et qu'on ne saurait me faire des objections de ce cote.' Conditionem, productum pqr etc. rationaliter per B, C etc. determi- nari posse, E. nuUibi adiecit, attamen semper subintellexisse videtur, quum abs- que illa demonstratio nullam vim habere possit. lam verum quidem est in ae- quationibus quarti gradus , si productum (a + b)(a4-c)(a-)-b) evolvatur, obtineri ao(a-l-b + c-l-b)-|-a'6c-l-a'6b-|-ocb + '6cb = — C, attamen non satis perspicuum videtur, quomodo in omnibus aequationibus superioribus productum rationaliter

mento longe quidem diverso, nihllominus tarnen analogo, licentiam similem prorsus eodem iure usurpare potuissem, ut-hic in aequationibus ab omnibus analystis factum est. Quamquam vero plurium veritatum de- monstrationes adiumento talium fictionum paucis verbis absolvere licuisset, quae absque bis perquam difficiles evadunt et subtilissima artificia requirunt, tamen illis omnino abstinere malui, speroque, paucis me satisfactu- runi fuisse, si analystarum methodum imitatus essem.

*) E. per errorem habet C, unde etiam postea perperam statuit _pjr = C.

16 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

per coefficientes determinari possit. Clar. de Foncenex, qui primus hoc obser- vavit {Miscell. phil. math. soc. Taurin. T. I. p. 1 17), recte contendit, sine demon- stratione rigorosa huius propositionis methodum omnem^vim perdere, illam vero satis difficilem sibi videri confitetur, et quam viam frusira tentaverit, enarrat*). Attamen haec res haud difficulter per methodum sequentem (cuius summam ad- digitare tantummodo hie possum) absolvitur : Quamquam in aequationibus quarti gradus non satis darum est, productum (a -|- B) (a + c) (a -f- b) per coefficien- tes B, C, D determinabile esse , tarnen facile perspici potest, idem productum etiam esse = (B + a) (b + c)(B + b) , nee non == (c + a)(c + b)(c -f b) , denique etiam = (b-j-a)(b -|-B) (b + c)- Quare productum pqr erit quadrans summae (a+B)(aH-c)(a+b) + (b + a)(B+c)(B+b) + (c-|-a)(c+B)(c+b)+(b-fa)(b+b)(b+c), quam , si evolvatur , fore functionem rationalem integram radicum a, B, c, b ta- lem , in quam omnes eadem ratione ingrediantur, nullo negotio a priori praevi- deri potest. Tales vero functiones semper rationaliter per coefficientes aequationis,

cuius radices sunt a, B, c, b , exprimi possunt Idem etiam manifestum est,

si productum pqr sub hanc formam redigatur:

4-(a4-B — c — b)x4-(a + c — B— b)xi(a + b — B — c)

quod productum evolutum omnes a, B, c, b eodem modo implicaturum esse facile praevideri potest. Simul periti facile hinc colligent, quomodo hoc ad altiores ae-

quationes applicari debeat. Completam demonstrationis expositionem, quam

hie apponere brevitas non permittit , una cum uberiori disquisitione de functioni- bus plures variabiles eodem modo involventibus ad aliam occasionem mihi reservo.

Ceterum observo , praeter has quatuor obiectiones , adhuc quaedam alia in demonstratione E. reprehendi posse, quae tamen silentio praetereo, ne forte cen- sor nimis severus esse videar, praesertim quum praecedentia satis ostendere vi- deantur, demonstrationem in ea quidem forma, in qua ab E. proposita est, pro completa neutiquam haberi posse.

Post hanc demonstrationem, E. adhuc aliam viam theorema pro aequationi- bus , quarum gradus non est potestas binaria , ad talium aequationum resolutio- nem reducendi ostendit: attamen quum methodus haec pro aequationibus quarum

*) In hanc expositionem error irrepsisse videtur, scilicet p. 118. 1. 5. loco characteris ^ (on choisis- sait seulement Celles oü entrait p etc.), necessario legere oportet, une mömc racine quelconque de Pequa- tion in-oposee , aut simile quid , quum illud nuUum sensum habeat.

OMNEM FÜNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 17

gradus est potestas binaria, nihil doceat, insuperque omnibus obiectionibus praecc. (praeter quartam) aeque obnoxia sit ut demonstratio prima generalis: haud necesse est illam hie fusius explicare.

9.

In eadem commentatione ill. E. theorema nostrum adhuc alia via confir- mare annixus est p. 263, cuius summa continetur in his: Proposita aequatione a:!'^-{-Aaj"'~^-{-Bx^~^ etc. = 0 , hucusque quidem expressio analytica, quae ipsius radices exprimat, inveniri non potuit , si exponens ?i]>>4; attamen certum esse videtur (uti asserit E.) , illam nihil aliud continere posse, quam operationes arith- meticas et extractiones radicum eo magis complicatas , quo maior sit n. Si hoc conceditur, E. optime ostendit , quantumvis inter se complicata sint signa radica- lia, tamen formulae valorem semper per formam M-{-N\J — 1 repraesentabilem fore , ita ut M, N sint quantitates reales.

Contra hoc ratiocinium obiici potest , post tot tantorum geometrarum labo- res perexiguam spem superesse, ad resolutionem generalem aequationum algebrai- carum umquam perveniendi, ita ut magis magisque verisimile fiat, talem resolu- tionem omnino esse impossibilem et contradictoriam. Hoc eo minus paradoxum videri debet, quum id, qicod vulgo resolutio aequationis dicitur, proprie nihil aliud sit quam ipsius reductio ad aequationes puras. Nam aequationum purarum solutio hinc non docetur sed supponitur, et si radicem aequationis oo"^ = H per y^H expri- mis, illam neutiquam solvisti, neque plus fecisti, quam si ad denotandam radicem aequationis x^^ -\- Äaf^"^ -\- etc. = 0 signum aliquod excogitares, radicemque huic aequalem poneres. Verum est, aequationes puras propter facilitatem ipsarum ra- dices per approximationem inveniendi, et propter nexum elegantem, quem omnes radices inter se habent, prae omnibus reliquis multum praestare, adeoque neuti- quam vituperandum esse, quod analystae harum radices per signum peculiare de- notaverunt: attamen ex eo, quod hoc signum perinde ut signa arithmetica addi- tionis , subtractionis , multiplicationis , divisionis et evectionis ad dignitatem sub nomine expressionum analj/ticarum complexi sunt, minime sequitur, cuiusvis aequa- tionis radicem per illas exhiberi posse. Seu, missis verbis, sine ratione siifficienti supponitur, cuiusvis aequationis solutionem ad solutionem aequationum purarum reduci posse. Forsan non ita difficile foret, impossibilitatem iam pro quinto gradu omni rigore denionstrare, de qua re alio loco disquisitiones meas fusius proponam. III. 3

18 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

Hic sufficit , resolubilitatem generalem aequationum , in illo sensu acceptam , ad- huc valde dubiam esse, adeoque demonstrationem, cuius tota vis ab illa supposi- tione pendet , in praesenti rei statu nihil ponderis habere.

10.

Postea etiam dar. de Foncenex, quum in demonstratione prima Euleri de- fectum animadvertisset (supra art. 8 obiect. 4), quem tollere non poterat, adhuc aliam viam tentavit et in comment. laudata p. 120 in medium pro tulit '**'). Quae consistit in sequentibus.

Proposita sit aequatio Z = 0 , designante Z functionem m*^ gradus in- cognitae z. Si m est numerus impar , iam constat , aequationem hanc habere radicem realem ; si vero m est par , clar. F. sequenti modo probare conatur, ae- quationem ad minimum unam radicem formae p-{-qsJ — 1 habere. Sit ?ti = 2^H, designante ^ numerum imparem, supponaturque zz-\-uz-~\-M' esse divisor functionis Z. Tunc singuli valores ipsius u erunt summae binarum radicum ae- quationis Z = 0 (mutato signo) , quamobrem u habebit ^^^'"^~ = m valores, et si M per aequationem C7 == 0 determinari supponitur (designante TJ functio- nem integram ipsius u et coefficientium cognitorum in Z) , haec erit gradus m}^. Facile vero perspicitur, m fore numerum formae 2^~^i', designante i' numerum imparem. Iam nisi m est impar, supponatur iterum, uu-{-uu-{-M' esse divisorem ipsius U, patetque per similia ratiocinia, u determinari per aequationem U'= 0, ubi ü' sit functio !ü_L!üz:lti gradus ipsius u. Posito vero "^ '^"^~^ = m", erit m" numerus formae 2"~S", designante i" numerum imparem. Iam nisi m" est im- par, statuatur u'u-\-ii"u-\-M" esse divisorem functionis ü\ determinabiturque u" per aequationem U" = 0 , quae si supponitur esse gradus m"^\ 7n" erit nu- merus formae 2"~^r". Manifestum est, in serie aequationum ?7=0, C7'= 0, JJ" = 0 etc. n^^^ fore gradus imparis adeoque radicem realem habere. Statue- mus brevitatis gratia w = 3, ita ut aequatio U" = 0 radicem realem u habeat, nullo enim negotio perspicitur, pro quovis alio valore ipsius n idem ratiocinium valere. Tunc coefficientem M" per u et coefficientes in U' (quos fore functio- nes integras coefficientium in Z facile intelligitur), sive per u et coefficientes in

') In tomo secundo eorundem Miscellaneorum p. 3 37 dilucidationes ad hanc commentationem continen- tur: attamen hae ad disquisitionem praesentem non pertinent, sed ad logarithmos quantitatum negativarum, de quibus in eadem coram. sermo fuerat.

OMNEM FÜNGTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 19

Z rationaliter determinabilem fore asserit dar. de F. , et proin realem. Hinc se- quitur, radices aequationis uu-{-u"u-{- 31" = 0 sub forma p-{-q\/ — 1 conten- tas fore ; eaedem vero manifesto aequationi U' = 0 satisfacient : quare dabitur valor aliquis ipsius u' sub forma p-\-q\J — 1 contentus. lam coefficiens M' (eodem modo ut ante) rationaliter per u' et coefficientes in Z determinari potest, adeoque etiam sab forma p-\-q\/ — 1 contentus erit; quare aequationis uu-{-uu-\~M' radices sub eadem forma contentae erunt, simul vero aequationi [/" = 0 satisfa- cient, i. e. aequatio haec habebit radicem sub forma p-\-q\/ — 1 contentam. De- nique hinc simili ratione sequitur, etiam M sub eadem forma contineri , nee non radicem aequationis gz-\-uz-\-M=0, quae manifesto etiam aequationi propo- sitae Z == 0 satisfaciet. Quamobrem quaevis aequatio ad minimum unam radi- cem formae p-{-q\/ — 1 habebit.

11.

Obiectiones 1,2,3, quas contra Euleei demonstrationem primam feci (art. 8), eandem vim contra hanc methodum habent, ea tamen differentia, ut obiectio se- cunda, cui Euleri demonstratio tantummodo in quibusdam casibus specialibus ob- noxia erat, praesentem in omnibus casibus attingere debeat. Scilicet a priori de- monstrari potest, etiamsi formula detur, quae coefficientem M' rationaliter per u et coefficientes in Z exprimat , hanc pro pluribus valoribus ipsius u necessario indeterminatam fieri debere ; similiterque formulam , quae coefficientem M" per u" exhibeat, indeterminatam fieri pro quibusdam valoribus ipsius w" etc. Hoc luculentissime perspicietur, si aequationem quarti gradus pro exemplo assumimus. Ponamus itaque m= A, sintque- radices aequationis Z = 0, hae a, ö, y, ^. Tum patet, aequationem U = 0 fore sexti gradus ipsiusque radices — (a-|-Ö), — (a+T)' — (a + ^), — (ö + y, — (ö + ^), —(7 + ^). Aequatio ü' = 0 au- tem erit decimi quinti gradus, et valores ipsius u' hi

2a-fö-|-Y, 2a-fÖ+g, 2a-f74-g, 2Ö4-a-{-y, 20 + «-}-^, 2Ö+y + ^, 2y-f-a-fÖ, 2y4-a4-^, 2y-fö + 8, 2 g-|-a-}-Ü, ' 2g-[-ct + y , 284-ö-f-y, a+ö + y-j-^, a-f-6-|-y4-^, a-^-0 + y4-^

lam in hac aequatione, quippe cuius gradus est impar, subsistendum erit, habe-

bitque ea revera radicem realem a-\-^-{-f-\-^ (quae primo coefficienti in Z mu-

tato signo aequalis adeoque non modo realis sed etiam rationalis erit, si coefficien-

3#

20 DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

tes in Z sunt rationales). Sed nnllo negotio perspici potest, si formula detur, quae valorem ipsius M' per valorem respondentem ipsius u rationaliter exhibeat, hanc necessario pro w' = a-|-^+T~h^ indeterminatam fieri. Hie enim valor ter erit radix aequationis f7' = 0 , respondebuntque ipsi tres valores ipsius M', puta (oc+ö)(74-^), («+7)(öH-^) et (a + ^)(^+7), qui omnes irrationales esse possunt. Manifeste autem formula rationalis neque valorem irrationalem ipsius M ' in hoc casu producere posset, neque tj^s valores diverses. Ex hoc specimine satis colligi potest , methodum dar. de Foncenexü neutiquam esse satisfacientem, sed si ab omni parte completa reddi debeat , multo profundius in theoriam elimi- nationis inquiri oportere.

12.

Denique ill. La Grange de theoremate nostro egit in comm. Sur la forme des racines imaginaires des equations, Nouv. Mem. de VAcad. de Berlin 1772, p. 222 sqq. Magnus hie geometra imprimis operam dedit, defectus in Euleri de- monstratione prima supplere et revera praesertim ea , quae supra (art. 8) obiectio- nem secundam et quartam constituunt, tam profunde perscrutatus est, ut nihil am- plius desiderandum restet, nisi forsan in disquisitione anteriori super theoria eli- minationis (cui investigatio haec tota innititur) quaedam dubia superesse videan-

tur Attamen obiectionem tertiam omnino non attigit, quin etiam tota dis-

quisitio superstructa est suppositioni , quamvis aequationem m*^ gradus revera m radices habere.

Probe itaque iis, quae hucusque exposita sunt, perpensis, demonstrationem novam theorematis gravissimi ex principiis omnino diversis petitam peritis haud ingratam fore spero , quam exponere statim aggredior.

13.

Lemma. Denotante m numerum integrum positivum qiiemcunque , functio sin cp . a?"* — sin m cp . /""' x-\-sm{m — 1 ) cp . r"* divisibilis erit per xx — 2 cos cp . rc2? -f- rr.

Demonstr. Pro m = \ functio illa fit = 0 adeoque per queracunque facto- rem divisibilis ; pro m=1 quotiens fit sin cp , et pro quovis valore maiori quo- tiens erit sincp.^"^-' + sin2 9.r<^?"*-' + sin3cp.rr^"^-'' + etc.4-sin(m— l)^.»-"*-^ Facile enim confirmatur, multiplicata hac functione per xx—1cos(:^.rx-\-rr, productum functioni propositae aequale fieri.

OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 21

14.

Lemma. Si quantitas r angulusque cp ita sunt determinati , ut haheantur ae- quationes

r"*cosm9-l-^r'"~*cos(m — l)cp + JBr*"~^cos(?w — 2)cp-)- etc.

-\-Kr7' co^1^-{- Lr co^(^-\-M = 0 . . [1] r^ smm^ -\- Ar'^"^ sin(m — \)(^-\-Br'^~^&m[m — 2)cp-[- etc.

4-jK"rr sin2<p-{-jLr sincp = 0 . . [2]

functio x'^-^-A x'^'^ + B x"^^^ + etc. + Kos x-^Lx-\-M=iX divisiUlis erit per factorem duplicem xoc — 2 coscp.ra?+rr, si modo rsincp non ■==■ 0; sivero rsincp = 0, eadem functio divisiUlis erit per factorem simplicem x